PART04 - APPENDIX B 기타 알고리즘

소수 판별 알고리즘

- 소수(Prime Number) : 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신을 제외한 자연수로는 나누어떨어지지 않는 자연수이다.

 

약수의 성질

- 모든 약수가 가운데 약수를 기준으로 곱셈 연산에 대해 대칭을 이룬다.

- 따라서 우리는 특정한 자연수의 모든 약수를 찾을 때 가운데 약수(제곱급)까지만 확인하면 된다.

import math

# 소수 판별 함수 (2이상의 자연수에 대하여)
def is_prime_number(x):
    # 2부터 x의 제곱급까지의 모든 수를 확인하며
    for i in range(2, int(math.sqrt(x)) + 1):
        # x가 해당 수로 나누어 떨어진다면
        if x % i == 0:
            return False	# 소수가 아님
    return True	# 소수임

 

소수의 판별 : 개선된 알고리즘 성능 분석

- 2부터 X의 제곱근(소수점 이하 무시)까지의 모든 자연수에 대하여 연산을 수행해야 한다.

    ㆍ시간 복잡도는 O(N^(1/2)) 이다.

 

---

다수의 소수 판별 - 에라토스테네스의 체 알고리즘

- 에라토스테네스의 체 알고리즘의 구체적인 동작 과정

    ㆍ1. 2부터 N까지의 모든 자연수를 나열한다.

    ㆍ2. 남은 수 중에서 아직 처리하지 않은 가장 작은 수 i를 찾는다.

    ㆍ3. 남은 수 중에서 i의 배수를 모두 제거한다. (i는 제거하지 않는다)

    ㆍ4. 더 이상 반복할 수 없을 때까지 2번과 3번의 과정을 반복한다.

import math

n = 1000	# 2부터 1000까지의 모든 수에 대하여 소수 판별
# 처음엔 모든 수가 소수(True)인 것으로 초기화(0과 1은 제외)
array = [True for i in range(n + 1)]

# 에라토스테네스의 체 알고리즘 수행
# 2부터 n의 제곱근까지의 모든 수를 확인하며
for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
    if array[i] == True: # i가 소수인 경우(남은 수인 경우)
        # i를 제외한 i의 모든 배수를 지우기
        j = 2
        while i * j <= n:
            array[i * j] = False
            j += 1

 

에라토스테네스의 체 알고리즘 성능 분석

- 에라토스테네스의 체 알고리즘의 시간복잡도는 사실상 선형 시간에 가까울 정도로 매우 빠르다.

    ㆍ시간 복잡도는 O(NloglogN) 이다.

- 에라토스테네스의 체 알고리즘은 다수의 소수를 찾아야 하는 문제에서 효과적으로 사용할 수 있다.

    ㆍ하지만 각 자연수에 대한 소수 여부를 저장해야 하므로 메모리가 많이 필요하다.

---

투 포인터(Two Pointers)

- 투 포인터 알고리즘은 리스트에 순차적으로 접근해야 할 때 두 개의 점의 위치를 기록하면서 처리하는 알고리즘을 의미한다.

- 리스트에 담긴 데이터에 순차적으로 접근해야 할 때는 시작점과 끝점 2개의 점으로 접근할 데이터의 범위를 표현할 수 있다.

 

특정한 합을 가지는 부분 연속 수열 찾기 : 문제 해결 아이디어

- 투 포인터를 활용하여 다음과 같은 알고리즘으로 문제를 해결할 수 있다.

    ㆍ1. 시작점(start)과 끝점(end)이 첫 번째 원소의 인덱스(0)를 가리키도록 한다.

    ㆍ2. 현재 부분 합이 M과 같다면, 카운트한다.

    ㆍ3. 현재 부분 합이 M보다 작다면, end를 1 증가시킨다.

    ㆍ4. 현재 부분 합이 M보다 크거나 같다면, start를 1 증가시킨다.

    ㆍ5. 모든 경우를 확인할 때까지 2번부터 4번까지의 과정을 반복한다.

n = 5	# 데이터의 개수 N
m = 5	# 찾고자 하는 부분합 M
data = [1,2,3,2,5]	# 전체 수열

count = 0
interval_sum = 0
end = 0

# start를 차례대로 증가시키며 반복
for start in range(n):
    # end를 가능한 만큼 이동시키기
    while interval_sum < m and end < n:
        interval_sum += data[end]
        end += 1
    # 부분합이 m일 때 카운트 증가
    if interval_sum == m:
        count += 1
    interval_sum -= data[start]

print(count)

 

---

구간 합(Interval Sum)

- 구간 합 문제 : 연속적으로 나열된 N개의 수가 있을 때 특정 구간의 모든 수를 합한 값을 계산하는 문제

 

구간 합 빠르게 계산하기 : 문제 해결 아이디어

- 접두사 합(Prefix Sum) : 배열의 맨 앞부터 특정 위치까지의 합을 미리 구해 놓은 것

- 접두사 합을 활용한 알고리즘은 다음과 같다.

    ㆍN개의 수 위치 각각에 대하여 접두사 합을 계산하여 P에 저장한다.

    ㆍ매 M개의 쿼리 정보를 확인할 때 구간 합은 P[Right] - P[Left - 1]이다.

# 데이터의 개수 N과 데이터 입력받기
n = 5
data = [10, 20, 30, 40, 50]

# 접두사 합(Prefix Sum) 배열 계산
sum_value = 0
prefix_sum = [0]
for i in data:
    sum_value += i
    prefix_sum.append(sum_value)

# 구간 합 계산(세 번째 수부터 네 번째 수까지)
left = 3
right = 4
print(prefix_sum[right] - prefix_sum[left - 1])