PART02 - CHAPTER 09. 최단 경로

1. 가장 빠른 길 찾기

가장 빠르게 도달하는 방법

- 최단 경로(Shortest Path) 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다.

- 그래서 '길찾기' 문제라고도 불린다.

- 최단 경로 알고리즘 유형에는 다양한 종류가 있는데, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있다.

 

- 예를 들어 '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우', '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야하는 경우' 등의 다양한 사례가 존재한다.

- 이런 사례를 맞는 알고리즘을 알고 있다면 문제를 좀 더 쉽게 풀 수 있다.

 

- 최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현하는데 각 지점은 그래프에서 '노드'로 표현되고, 지점간 연결된 도로는 그래프에서 '간선'으로 표현된다.

- 또한 실제 코딩 테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다.

 

- 컴퓨터공학과 학부 수준에서 사용하는 최단 거리 알고리즘은 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘, 이렇게 3가지이다.

- 이 책에서는 이 중에 다익스트라 최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘 유형만 다룬다.

- 이 2가지가 코딩 테스트에서 가장 많이 등장하는 유형이다.

- 따라서 이 유형만 파악해도 코딩 테스트 수준에서의 최단 경로 문제는 어렵지 않게 해결할 수 있다.

 

- 더불어 앞서 공부한 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다는 특징이 있다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

- 다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.

- 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작한다.

- 음의 간선이란 0보다 작은 값을 가지는 간선을 의미하는데, 현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다.

- 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다.

- 매번 ' 가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.

- 알고리즘의 원리를 간략히 설명하면 다음과 같다.

    ㆍ1. 출발 노드를 설정한다.

    ㆍ2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.

    ㆍ3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.

    ㆍ4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.

    ㆍ5. 위 과정에서 3과 4번을 반복한다.

 

- 다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.

    * 이러한 1차원 리스트를 최단 거리 테이블이라고 한다.

- 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다.

- 나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 '더 짧은 경로도 있었네? 이제부터는 이경로가 제일 짧은 경로야'라고 판단하는 것이다.

- 따라서 '방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인'해 그 노드에 대하여 4번 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.

 

- 다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법은 2가지이다.

    ㆍ방법 1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드

    ㆍ방법 2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드

- 시험을 준비한다면 방법2를 정확히 이해하고 구현할 수 있을 때까지 연습해야한다.

- 특히 알고리즘 대회를 준비하는 독자라면 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 자다가도 일어나서 바로 코드를 작성할 수 있을 정도로 코드에 숙달되어 있어야한다.

- 또한 최단 경로 알고리즘을 응용해서 풀 수 있는 고난이도 문제들이 많으므로 방법 2를 이해하고 정확히 구현할 수 있다면 다양한 고난이도 문제를 만났을 때에도 도움을 얻을 수 있다.

 

* 다익스트라 vs 데이크스트라

- 다익스트라 알고리즘은 고안한 에츠허르 다익스트라는 본래 네덜란드 사람이라서 다익스트라(Dijkstra)의 정확한 외래어 표기는 '데이트스트라'가 맞다.

- 하지만 이 책을 읽는 독자는 대부분 다익스트라로 알고 있을 듯하여 이 책에서는 다익스트라로 표기하였다.

- 다른 책이나 문서에서 데이크스트라를 보면 같은 알고리즘이라는 점을 기억하길 바란다.

 

- 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 ' 방문하지 않는 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택'하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 '최단 거리'가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다.

- 다시 말해 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.

- 그렇기 때문에, 사실 마지막 노드에 대해서는 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 경우를 확인할 필요가 없다.

 

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

- 간단한 다익스트라 알고리즘은 O(V^2)의 시간 복잡도를 가지며, 다익스트라에 의해서 처음 고안되었던 알고리즘이다.

- 여기서 V는 노드의 개수를 의미한다.

- 이 알고리즘은 직관저깅고 쉽게 이해할 수 있다.

- 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언하다.

- 이후에 단계마다 '방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

 

- 앞서 다익스트라 알고리즘을 '최단 경로'를 구하는 알고리즘이라고 소개했는데, 왜 1차원 리스트에는 '최단 거리'만을 저장하고 있는지 궁금할 수 있다.

- 사실 완벽한 형태의 '최단 경로'를 구하려면 책에서 제공하는 코드를 조금 수정해야한다.

- 코딩 테스트에서는 대체로 특정한 노드에서 다른 특정한 노드까지의 최단 거리만을 추력하도록 요청하므로, 이번 장에서 '최단 경로'까지 모두 출력하는 내용은 다루지 않는다.

 

- 참고로 다음 소스코드에서는 입력되는 데이터의 수가 많다는 가정하에 파이썬 내장 함수인 input()을 더 빠르게 동작하는 sys.std.readline()으로 치환하여 사용하는 방법을 적용했다.

- 또한 DFS/BFS에서의 소스코드와 마찬가지로 모든 리스트는 (노드의 개수 + 1)의 크기로 할당하여, 노드의 번호를 인덱스로 하여 바로 리스트에 접근할 수 있도록 했다.

- 그래프를 표현해야 할 때 많이 사용하는 일반적인 코드 작성법이므로 기억해두자.

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)	#무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 C라는 의미
    graph[a].append((b,c))
    
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0	# 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index
    
def dijkstra(start):
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[o]] = cost
                
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])
        

# 입력예시
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

# 출력 예시
0
2
3
1
2
4

 

* 간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도 *

- 앞서 시간 복잡도는 O(V^2)이라고 헸다.

- 왜냐하면 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문이다.

 

- 따라서 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 일반적으로 이 코드로 문제를 풀 수 있을 것이다.

- 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 이 코드로는 문제를 해결하기 어렵다.

- 노드의 개수 및 간선의 개수가 많을 때는 이어서 설명할 '개선된 다익스트라 알고리즘'을 이용해야 한다.

 

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

- 다익스트라 알고리즘을 간단히 구현하면 시간 복잡도가 O(V^2)이다.

- 하지만 지금 배울 구현 방법을 이용하면 다익스트라 최단 경로 문제를 최악의 경우에도 시간 복잡도 O(ElogV)를 보장하여 해결할 수 있다.

- 여기서 V는 노드의 개수이고, E는 간선의 개수를 의미한다.

 

- 간단한 다익스트라 알고리즘은 '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로(모든 원소를 앞에서부터 하나씩) 탐색해야 했다.

- 이 과정에서만 O(V)의 시간이 걸렸다.

- 하지만 최단 거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는 것이 아니라 더욱더 빠르게 찾을 수 있다면 어떨까? 알고리즘의 시간 복잡도를 더욱 줄일 수 있을 것이다.

 

- 개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙(Heap) 자료구조를 사용한다.

- 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다.

- 이 과정에서 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸린다.

- N = 1,000,000일 때, log(2)N이 약 20인 것을 감안하면 속도가 획기적으로 빨라지는 것임을 이해할 수 있다.

 

힙 설명

- 힙 자료구조는 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나다.

- 스택은 가장 나중에 삽입된 데이터를 가장 먼저 삭제하고, 큐는 가장 먼저 삽입된 데이터를 가장 먼저 삭제한다.

- 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징이다.

- 스택, 큐, 우선순위 큐 자료구조를 비교한 내용

자료구조	추출되는 데이터
스택(Stack)	가장 나중에 삽입된 데이터
큐(Queue)	가장 먼저 삽입된 데이터
우선순위 큐(Priority Queue)	가장 우선순위가 높은 데이터

- 이러한 우선순위 큐는 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용한다.

- 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우를 가정하자

    ㆍ이런 경우에 우선순위 큐 자료구조를 이용하면 효과적이다.

 

- 대부분의 프로그래밍 언어에서는 우선순위 큐 라이브러리를 지원하기 떄문에 일반적인 코딩 테스트 환경에서 우리가 직접 힙 자료구조부터 작성해서 우선순위 큐를 구현할 일은 없다.

 

- 파이썬에서는 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue 혹은 heapq를 사용할 수 있는데, 이 두 라이브러리는 모두 우선 순위 큐 기능을 지원한다.

- 다만, PriorityQueue보다는 일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작하기 때문에 수행 시간에 제한된 상황에서는 heapq를 사용하는 것을 권장한다.

 

- 우선 순위 값을 표현할 때는 일반적으로 정수형 자료형의 변수가 사용된다.

- 예를 들어 물건 정보가 있고, 이 물건 정보는 물건의 가치와 물건의 무게로만 구성된다고 가정하자.

    ㆍ그러면 모든 물건 데이터를 (가치,물건)으로 묶어서 우선순위 큐 자료구조에 넣을 수 있다.

    ㆍ이후에 우선순위 큐에서 물건을 꺼내게 되면, 항상 가치가 높은 물건이 먼저 나오게 된다.

* 우선순위 큐가 최대 힙으로 구현되어 있을 때를 가정한다. 최대 힙을 이용하는 경우, 값이 큰 데이터가 먼저 추출된다.

- 대부분의 프로그래밍 언어에서는 우선순위 큐 라이브러리에 데이터의 묶음을 넣으면, 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위를 설정한다.

- 따라서 데이터가 (가치, 물건)으로 구성된다면 '가치'값이 우선순위 값이 되는 것이다.

- 이는 파이썬에서도 마찬가지다.

 

- 또한 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙(Min Heap) 혹은 최대 힙(Max Heap)을 이용한다.

- 최소 힙을 이용하는 경우 '값이 낮은 데이터가 먼저 삭제'되며, 최대 힙을 이용하는 경우 '값이 큰 데이터가 먼저  삭제'된다.

- 파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용하는데 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합히다.

** 참고로 C++에서는 최대 힙, 자바에서는 최소 힙을 이용하여 각각 우선순위 라이브러리가 구현되어 있다.

    ㆍ언어마다 라이브러리의 자료구조가 조금씩 다르므로, 다른 언어에서 우선순위 라이브러리를 이용할 때는 헷갈리지 않도록 조심하자.

 

- 또한 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해서는 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(-)를 붙여서 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호(-)를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있다.

- 이러한 테크닉도 실제 코딩 테스트 환경에서는 자주 사용되기 때문에 기억해 놓자

 

- 앞서 우선순위 큐를 구현할 때는 힙 자료구조를 이용하낟고 했는데, 사실 우선순위 큐를 구현하는 방법은 다양하다.

- 단순히 리스트를 이용해서 구현할 수도 있다.

- 데이터의 개수가 N개일 때, 구현 방식에 따라서 시간 복잡도를 비교한 표

우선순위 큐 구현 방식	삽입 시간	삭제 시간
리스트	O(1)	O(N)
힙(Heap)	O(logN)	O(logN)

- 리스트를 이용해서 우선순위 큐의 기능을 구현하기 위해서는 삭제할 때마다 모든 원소를 확인해서 우선순위가 가장 높은 것을 찾아야 하므로 최악의 경우 O(N)의 시간이 소요된다.

 

- 데이터의 개수가 N개일 때, 힙 자료구조에 N개의 데이터를 모두 넣은 뒤에 다시 모든 데이터를 꺼낸다고 해보자.

- 이때의 시간 복잡도는 어떻게 될까?

- 삽입할 때는 O(logN)의 연산을 N번 반복하므로 O(NlogN)이고 삭제할 때에도 O(logN)의 연산을 N번 반복하므로 O(NlogN)이다.

- 따라서 전체 연산 횟수는 대략 2Nlog(2)N으로 빅오 표기법에 따라 전체 시간 복잡도는 O(NlogN)이 될 것이다.

- 사실 이는 힙 정렬(Heap Sort)의 원리를 설명한 것이며, 힙 정렬 구현 소스코드는 부록 A의 파이썬 문법파트에서 제시하고 있다.

- 만약 동일한 작업을 리스트를 이용해 수행하고자 한다면, 시간 복잡도가 O(N^2)이 된다.

- N이 커지면 커질수록 시간 차이는 극명할 것 이며, 대부분의 경우 힙을 이용했을 때 훨씬 빠르게 동작한다.

- 이처럼 힙을 이용하는 경우 모든 원소를 저장한 뒤에 우선순위에 맞게 빠르게 뽑아낼 수 있으므로 힙은 '우선순위 큐'를 구현하는데 가장 많이 사용된다.

 

- 최소 힙을 이용하는 경우 힙에서 원소를 꺼내면 '가장 값이 작은 원소'가 추출되는 특징이 있으며, 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리는 최소 힙에 기반한다는 점을 기억하자.

- 우리는 이러한 최소 힙을 다익스트라 최단 경로 알고리즘에 적용할 것이다.

- 단순히 우선순위 큐를 이용해서 시작 노드로부터  '거리'가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 다익스트라 알고리즘을 작성하면 된다.

 

- 우선순위 큐를 적용하여도 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다.

- 최단 거리르 저장하기 위한 1차원 리스트(최단 거리 테이블)는 아까와 같이 그대로 이용하고, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다.

 

- 파이썬에서 표준 라이브러리로 제공하는 PriorityQueue와 heapq는 데이터의 개수가 N개일 때, 하나의 데이터를 삽입 및 삭제할 때의 시간 복잡도는 O(logN)이다.

- 앞서 말했듯이 PriorityQueue보다 통상적으로 조금 더 빠르게 동작하는 heapq를 이용하는 방식으로 작성된 코드이다.

- heapq에 대한 더 자세한 설명은 부록에서 다루고 있다.

- 앞의 코드와 비교했을 때 get_samllest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없다는 특징이 있다.

- '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있다.

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)	# 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))
    
def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q:	# 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경루]
            if cost < distnace[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
                
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])
        
# 입력 예시
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5 
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

# 출력 예시
0
2
3
1
2
4

 

* 개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도 *

- 앞서 배웠던 간단한 다익스트라 알고리즘에 비해 개선된 다익스트라 알고리즘은 시간 복잡도가 O(ElogV)로 훨씬 빠르다.

- 하지만 직관적으로 봤을 때, 이처럼 우선순위 큐를 이용하는 방식이 휠씬 빠른 이유에 대해서 잘 납득이 안갈 수 있다.

 

- 우리의 코드에서도 확인할 수 있듯이 한 번 처리된 노드는 더 이상 처리되지 않는다.

- 다시 말해 큐에서 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V이상의 횟수로는 반복되지 않는다.

- 또한 V번 반복될 때마다 각각 자신과 연결된 간선들을 모두 확인한다.

- 따라서 '현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인'하는 총횟수는 총 최대 간선의 개수(E)만큼 연산을 수행될 수 있다.

 

- 따라서 전체 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다고 볼 수 있다.

- 앞에서 말했듯이 힙에 N개의 데이터를 모두 넣고, 이후에 모두 빼는 과정은 O(NlogN)이다.

- 간단하게 생각하면 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 최대 E개의 간선 데이터를 힙에 넣었다가 다시 빼는 것으로 볼 수 있으므로 O(ElogE)임을 이해할 수 있다.

 

- 이때 중복 간선을 포함하지 않는 경우, E는 항상 V^2보다 작다.

- 왜냐하면, 모든 노드끼리 서로 다 연결되어 있다고 했을 때 간선의 개수를 약 V^2으로 볼 수 있고 E는 항상 V^2 이하이기 때문이다.

- 다시말해 logE는 logV^2보다 작다.

- 이때 O(logV^2)은 O(2logV)이고, 이는 O(logV)이다.

- 따라서 다익스트라 알고리즘의 전체 시간 복잡도를 간단히 O(ElogV)라고 볼 수 있다.

 

- 현재 소스코드에서는 우선순위 큐의 개념이 들어가므로 시간 복잡도 계산을 바로 이해하기엔 어렵겠지만, 천천히 생각해보면 이해할 수 있을 것이다.

- 시간 복잡도 개념을 제대로 이해하지 못해도 최소한 다익스트라 최단 경로 알고리즘의 소스코드만 잘 기억해두자.

- 그러면 최단 경로 문제를 풀 수 있으며 많은 문제를 풀다보면 결국엔 정확한 내용까지 잘 이해하게 될 것이다.

 

- 또한 앞서 언급했듯이, 우선순위 큐는 실제로는 단순히 힙 자료구조로 구현할 수 있다.

- 거기다가 파이썬을 이용하면 힙을 직접 구현할 필요가 없다.

- '항상 가장 작은 값이 먼저 나온다'라는 특징을 지키면서, 단일 데이터의 삽입과 삭제 연산을 O(logN)에 수행하는 heapq 라이브러리를 이용하면 된다.

- 또한 기본적으로 튜플의 첫 번째 원소인 '거리' 정보를 기준으로 해서 우선순위 큐를 구성하므로 거리가 짧은 원소가 항상 먼저 나온다. 

 

- 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 우선순위 큐를 이용한다는 점에서 우선순위 큐를 필요로 하는 다른 문제 유형과도 흡사하다는 특징이 있다.

- 그래서 최단 경로르 찾는 문제를 제외하고도 다른 문제에도 두루 적용되는 소스코드 형태라고 이해할 수 있다.

- 예를 들어 그래프 문제로 유명한 최소 신장 트리 문제를 풀 때에도 일부 알고리즘(Prim 알고리즘)의 구현이 다익스트라 알고리즘의 구현과 흡사하다는 특징이 있다.

- 따라서 다익스트라 알고리즘을 바르게 이해할 수 있는 독자라면, 다른 고급 알고리즘도 이해할 가능성이 매우 높다

 

플로이드 워셜 알고리즘

- 다익스트라 알고리즘은 '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 최단 경로 알고리즘이다.

- 이번에 설명하는 플로이드 워셜 알고리즘(Floyed-Warshall Algorithm)은 '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 알고리즘이다.

- 심지어 소스코드 또한 매우 짧아서 다익스트라 알고리즘과 비교하면 구현 과정에서 어려움을 겪지 않을 것이다.

- 다만, 핵심 아이디어를 이해하는 것이 중요하다.

 

- 다익스트라 알고리즘은 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택한다.

- 그리고 해당 노드를 거쳐 가는 경로를 확인하며, 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작한다.

- 플로이드 워셜 알고리즘 또한 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행한다.

- 하지만 매번 방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다르다.

- 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐 가는' 모든 경로를 고려한다.

- 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)이다.

 

- 다익스트라 알고리즘에서는 출발 노드가 1개이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해서 1차원  리스트를 이용했다.

- 반면에  플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과는 다르게 2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장한다는 특징이 있다.

- 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문이다.

- 다시 말해 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 매번 O(N^2)의 시간이 소요된다.

 

- 또한 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘인데 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다.

- 노드의 개수가 N이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차우너 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍으로 볼 수 있다.

 

- 각 단계에서는 해당 노드를 거쳐가는 경우를 고려한다.

- 예를 들어 1번 노드에 대해서 확인할 때는 1번 노드를 중간에 거쳐 지나가는 모든 경우를 고려하면 된다.

- 정확히는 A → 1번 노드 → B 로 가는 비용을 확인한 후에 최단 거리를 갱신한다.

- 이를테면 현재 최단 거리 테이블에 A번 노드에서 B노드로 이동하는 비용이 3으로 기록되어 있을 때, A번 노드에서 1번 노드를 거쳐 B번 노드로 이동하는 비용이 2라는 것이 밝혀지면, A번 노드에서 B번 노드로 이동하는 비용을 2로 갱신하는것이다.

 

- 따라서 알고리즘에서는 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고, N - 1개의 노드 중에서 서로 다른 노드(A, B) 쌍을 선택한다.

- 이후에 A → 1번 노드 → B 로가는 비용을 확인한 뒤에 최단 거리를 갱신하다.

- 다시 말해 (N-1)P(2) 개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인하면 된다.

- 이때 O((N-1)P(2))는 O(N^2) 이라고 볼 수 있기 때문에, 전체 시간 복잡도는 O(N^3)이라고 할 수 있다.

- 구체적인 (K번의 단계에 대한) 점화식은 다음과 같다.

    ㆍD(ab) = min(D(ab), D(ak) + D(kb))

- 따라서 전체적으로 3중 반복문을 이용하여 이 점화식에 따라 최단 거리 테이블을 갱신하면 된다.

- 위의 점화식이 의미하는 내용을 말로 풀어 설명하자면, 'A에서 B로 가는 최소 비용'과 'A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용' 을 비교하여 더 작은 값을 갱신하겠다는 것이다.

- 즉, '바로 이동하는 거리'가 '특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리' 보다 더 많은 비용을 가진다면 이를 더 짧은 것으로 갱신한다는 것이다.

 

- 시간 복잡도는 O(N^3)이다.

INF = int(1e9)	# 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0
            
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a,b,c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c
    
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
            
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()
    
# 입력 예시
4
7
1 2 4
1 4 6
2 1 3
2 3 7
3 1 5
3 4 4
4 3 2

# 출력 에시
0 4 8 6
3 0 7 9
5 9 0 4
7 11 2 0